¿PARA QUE SIRVE UN SISTEMA LTI?

¿Para Qué Sirve Un Sistema LTI?

En esta oportunidad vamos a hablar acerca de Sistemas Lineales e Invariantes en el tiempo (LTI), pero primero que todo vamos a definir que es un sistema LTI partiendo inicialmente de la definición de linealidad de un sistema y posteriormente las condiciones que determinan su invariabilidad en el tiempo.

Sistema Lineal: es aquel que cumple con el llamado principio de superposición, el cual a su vez se compone de dos partes: 

1. Homogeneidad:

         2. Aditividad:

Si combinamos ambas ecuaciones obtenemos:

Como podemos observar esto se cumplirá si el sistema para obtener la salida, efectúa sobre la señal de entrada operaciones que son  matemáticamente lineales, como una suma, multiplicación por una constante, integración y diferenciación.

Invariabilidad En El Tiempo:

Un sistema es invariable en el tiempo cuando la respuesta del mismo no depende del momento en que se produce. La invariabilidad del tiempo depende de si su comportamiento y sus características son fijas.

Si un desplazamiento temporal en la entrada x(t-t0) ocasiona un desplazamiento temporal en la salida y(t-t0).

Si x(t)→ y(t), entonces x(t - t0) → y(t - t0)

Como vemos se cumple que es un  sistema invariante en el tiempo

Una vez definidos estos conceptos podemos concluir que la linealidad e invariabilidad en el tiempo de un sistema implica que sus constituyentes no se alterarán y conservarán sus propiedades con el paso del tiempo. Esta cualidad es muy importante, puesto que lo hace más predecible y posibilita su análisis, es así como se realizan muchos de los modelamientos de procesos físicos para poder ser analizados muy detalladamente ya que se puede determinar sus condiciones y tener una idea muy clara de cómo reaccionara el sistema.

Algunos ejemplos son las siguientes ecuaciones las cuales son lineales e invariables en el tiempo:

a)      Y(t) = Cos (6t)

b)      Y(t) = 6 sen (2t + 45)

c)     

Aquí puede verse como a la entrada x₁ (t) + x₂ (t) le corresponde la salida y₁(t)+y₂(t), por tanto se cumple la propiedad de aditividad q determina que el sistema es aditivo.

Convolucion Relacionada Con Sistemas LTI

El método de convolución sirve para hallar la respuesta del sistema a una entrada arbitraria, conociendo previamente la respuesta impulsiva  del mismo.

Mediante este concepto podemos ver cómo una señal cualquiera puede ser representada como una suma de impulsos desplazados en el tiempo y ponderados por el valor de la señal en ese instante.

Teniendo en cuenta esto podemos representar cualquier señal como una “suma” de impulsos ponderados; si excitamos un SLTI con una señal arbitraria x(t) es posible, gracias al principio de aditividad, determinar la salida  analizando únicamente las respuestas a cada uno de los impulsos que la componen y luego sumarlas.

Si bien es cierto que el  proceso de encontrar las respuestas a todos los impulsos que componen x(t) podría parecer en principio un trabajo tedioso y quizás imposible ya que en tiempo continuo la señal está compuesta por infinitos impulsos, puede solucionarse esto considerando que los impulsos que componen la señal difieren unos de otros únicamente en su posición temporal y su ponderación así, podremos representarlos como  K δ (t-to) y haciendo uso de otras dos propiedades de los Sistemas LTI, la homogeneidad e invarianza en el tiempo, la respuesta a este impulso será K h(t-to), donde h(t) es la respuesta al impulso unitario ubicado en el origen y constituye la incógnita real del problema, ya que K y to dependen de la señal de entrada.

En conclusión, si se conoces h(t) se puede obtener las respuestas de todos los impulsos que conforman x(t), luego sumando dichas respuestas se obtiene la respuesta completa del sistema a x(t), o sea  y(t).