SISTEMA LINEAL E INVARIANTE EN EL TIEMPO

En esta oportunidad vamos a realizar un ejercicio para obtener un sistema lineal e invariante en el tiempo bajo ciertas condiciones establecidas en el siguiente ejercicio:

Se tiene un circuito cerrado con una resistencia R = 1 en serie con una inductancia de L = 1H con una fuente de voltaje V(t) = Bu(t)

Al resolver el sistema obtenemos la siguiente ecuación:

En donde I₀ es la corriente inicial y B la entrada de la fuente.

Vamos a resolver la ecuación en 4 casos diferentes y las graficaremos para ver bajo que condiciones el sistema es invariante en el tiempo:

1. I_{0 = 1 ; B = 1}
2. I_{0 = 1 ; B = 2}
3. I_{0 = 0 ; B = 1} 
4. I_{0 = 0 ; B = 2}

_Solución:

 

1.       I₀ = 1 ; B = 1

Código en Matlab:

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clear figure

format long

t = 0:0.00001:8;

B = 1;

Io = 1;

i1 = Io.*exp(-t);

i2 = B.*(1-exp(-t));

it = i1 + i2;

plot(t,i1,'--b')

title ('Grafica de Corriente vs Tiempo')

xlabel ('Tiempo [t]')

ylabel ('Corriente [A]')

hold on

grid on

plot(t,i2,'--r')

plot(t,it,'g')

axis([0 8 -0.1 1.1])

j = legend('Corriente Io','Dependiente B','I Total',3);

set(j,'Interpreter','none','Location','East')

Como resultado obtenemos la siguiente gráfica:

 

2.  I₀ = 1 ; B = 2

Codigo en Matlab:

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format long

t = 0:0.00001:6;

B = 2;

Io = 1;

i1 = Io.*exp(-t);

i2 = B.*(1-exp(-t));

it = i1 + i2;

plot(t,i1,'--b')

title ('Grafica de Corriente vs Tiempo')

xlabel ('Tiempo [t]')

ylabel ('Corriente [A]')

hold on

grid on

plot(t,i2,'--r')

plot(t,it,'g')

axis ([0 5 -0.1 2.1])

j = legend('Corriente Io','Dependiente B','I Total',3);

set(j,'Interpreter','none','Location','East')

Como resultado obtenemos la siguiente gráfica:

 

3.  I₀ = 0 ; B = 1

Código en Matlab:

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format long

t = 0:0.00001:5;

B = 1;

Io = 0;

i1 = Io.*exp(-t);

i2 = B.*(1-exp(-t));

it = i1 + i2;

plot(t,i1,'--b')

title ('Grafica de Corriente vs Tiempo')

xlabel ('Tiempo [t]')

ylabel ('Corriente [A]')

hold on

grid on

plot(t,i2,'--r')

plot(t,it,'g')

axis ([0 5 -0.1 1.1])

j = legend('Corriente Io','Dependiente B','I Total',3);

set(j,'Interpreter','none','Location','East')

Como resultado obtenemos la siguiente gráfica:

 

4.       I₀ = 0 ; B = 2

Código en Matlab:

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clear figure

format long

t = 0:0.00001:5;

B = 2;

Io = 0;

i1 = Io.*exp(-t);

i2 = B.*(1-exp(-t));

it = i1 + i2;

plot(t,i1,'--b')

title ('Grafica de Corriente vs Tiempo')

xlabel ('Tiempo [t]')

ylabel ('Corriente [A]')

hold on

grid on

plot(t,i2,'--r')

plot(t,it,'g')

axis ([0 5 -0.1 2.1])

j = legend('Corriente Io','Dependiente B','I Total',3);

set(j,'Interpreter','none','Location','East')

Como resultado obtenemos la siguiente gráfica:

 

 

Como conclusion podemos decir que si las condiciones iniciales son cero la respuesta del sistema sólo depende de la entrada "input B" referente al voltaje de la fuente.