ECUACIÓN DIFERENCIAL Y ECUACIÓN DIFERENCIA

En esta nueva publicación vamos a definir las diferencias existentes entre "Ecuaciones Diferenciales" y "Ecuaciones de Diferencia", para ello vamos a definir cada una de ellas y compararlas para lograr un mayor entendimiento al respecto.

Primero empezaremos por definir: 

¿Qué es una "Ecuación Diferencial"?

Es una ecuación que relaciona a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial.

En pocas palabras lo podemos definir como igualdades que incluyen derivadas de la siguiente manera:

La solución de una ecuación diferencial es una función f(t) t € R
Algunos ejemplos:

·        f₂(t) = 2e^2t

·        f₁(t) = e^2t

Como condiciones auxiliares tenemos:

f(0), f’(0), f’’(0), f’’’(0), … , f⁽ⁿ⁾(0)

¿Qué es una "Ecuación Diferencia"?

Una ecuación en diferencias es una expresión que relaciona distintas sucesiones, siendo una de ellas una sucesión desconocida. Son similares a las ecuaciones diferenciales, sustituyendo las funciones por sucesiones. Para su resolución suele utilizarse el método de la transformada Z.

De manera simple la podemos definir como igualdades que incluyen diferencias tales como:

·         x(k + 1) = 2x(k)

La solución de una Ecuación Diferencia es una función f(k) k € Z

Profundizando un poco más en el análisis de Ecuaciones de Diferencia podemos decir que es una ecuación que muestra la relación entre valores consecutivos de una secuencia y la diferencia entre ellos. Usualmente se escribe en una ecuación recurrente para que la salida del sistema se pueda calcular de las entradas de la señal y sus valores anteriores.

Ejemplo:

 

La ecuación de diferencia nos ayuda a describir la salida del sistema descrito por la fórmula para cualquier n.  La propiedad más importante para esta ecuación es la habilidad de poder encontrar la transformada, H(z), del sistema.  

Forma general de la ecuación:

 

También se puede expresar como una salida recurrente:

 

De esta ecuación, note que y[n−k] representa las salidas y x[n−k] representa las entradas. El valor de N representa el orden de la ecuación de diferencia que corresponde a la memoria del sistema representado. Ya que la ecuación depende de los valores pasados de la salida, para calcular una solución numérica se deben saber las condiciones iniciales del sistema.